- Q_k(K) 的定义在 69 页, P_k(T) 的定义在 78 页
Ern A, Guermond J L. Finite elements: volume 72[M]. Springer, 2021. (9.0 MB)
实向量空间 \mathbb{P}_{k,d} 定义为所有 d 元多项式函数 p : \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R} 的集合，其中多项式的总次数不超过 k。形式上可写为
\mathbb{P}_{k,d} := \operatorname{span} \left\{x_1^{\alpha_1} \ldots x_d^{\alpha_d}, \ 0 \leq \alpha_1, \ldots, \alpha_d \leq k, \ \alpha_1 + \ldots + \alpha_d \leq k\right\}.
另一方面，张量积多项式空间定义为
\mathbb{Q}_{k,d} := \underbrace{\mathbb{P}_k \otimes \ldots \otimes \mathbb{P}_k}_{d \text{ times}}.
其中 \mathbb{P}_k 表示次数不超过 k 的一元多项式空间。空间 \mathbb{Q}_{k,d} 由所有关于 d 个变量的多项式函数 q: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R} 构成，要求每个变量的次数均不超过 k。因此有
\mathbb{Q}_{k,d} = \operatorname{span}\left\{x_1^{\beta_1} \ldots x_d^{\beta_d}, \ 0 \leq \beta_1, \ldots, \beta_d \leq k\right\}.
两者的主要区别在于：
- \mathbb{P}_{k,d} 要求多项式的总次数 \leq k；
- \mathbb{Q}_{k,d} 要求每个变量的次数 \leq k，因此其维度通常大于 \mathbb{P}_{k,d}。